Дифференциальные фильтры

В общем виде производная по оси $x$ (оси $y$) для дискретной функции представима в виде $h_x \otimes S$ ($h_y \otimes S$), где $\otimes$ обозначает свертку двух функций, $h_x$ и $h_y$ -- некоторые дискретные функции (матрицы), $S$ -- дифференцируемая функция. Зная производные поверхности по двум осям, нетрудно найти модуль градиента как корень из суммы квадратов. В программе FemtoScan доступны три варианта вычисления градиента: Gradient, Prewitt и Sobel. Эти варианты различаются матрицами $h_x$ и $h_y$. В таблице 3.4 приведены используемые матрицы.

Таблица: Матрицы, используемые при вычислении первых производных

	$h_x$	$h_y$
Gradient	$\left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & -1\\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right)$	$\left( \begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0 \end{array}\right)$
Prewitt	$\frac{1}{3} \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & -1\\ 1 & 0 & -1\\ 1 & 0 & -1 \end{array}\right)$	$\frac{1}{3} \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 0\\ -1 & -1 & -1 \end{array}\right)$
Sobel	$\frac{1}{4} \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & -1\\ 2 & 0 & -2\\ 1 & 0 & -1 \end{array}\right)$	$\frac{1}{4} \left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 1\\ 0 & 0 & 0\\ -1 & -2 & -1 \end{array}\right)$

Фильтр Laplace вычисляет лапласиан следующим образом: $Laplace(S)=h \otimes S$, где

$$h=\left(\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ 1 & -4 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{array}\right)$$